Tehniška matematika (4. del)

Geometrija likov in teles

Zelo veliko praktičnih nalog je povezanih z določitvijo obsega in ploščine geometrijskih likov ali z določitvijo površine in prostornine geometrijskih teles, saj so stroški in potrebni material odvisni od njihove velikosti. Če želimo ograditi parcelo, moramo poznati njen obseg. Če želimo asfaltirati dvorišče, moramo poznati njegovo ploščino. Če želimo prepleskati neki predmet, moramo poznati njegovo površino. Za določitev potrebne količine materiala za izdelavo nekega predmeta, pa moramo poznati njegovo prostornino.

Formule za določitev ploščine in obsega geometrijskih likov ter površine in prostornine geometrijskih teles najdemo v vseh tehniških priročnikih. Vendar je vse te formule mogoče enostavno tudi izpeljati: »če poznamo postopke za določitve neznanih podatkov poljubnega trikotnika in/ali krožnega izseka!«

Ploščina in obseg poljubnega trikotnika

Da določimo vse podatke poljubnega trikotnika moramo imeti tri neodvisne podatke (trije koti niso neodvisni podatek, saj vemo, da je njihova vsota 180º). Pri tem je koristno vedeti, katere posebne vrste trikotnikov poznamo:

a) Enakostranični trikotnik ima vse tri stranice in kote enake, zato za razrešitev vseh ostalih podatkov zadostuje en sam podatek (vendar ne kot, saj za te vemo, da so ti enaki – 60º). 

b) Enakostranični trikotnik ima dve stranici in dva kota enaka. Potrebujemo le dva podatka.

c) V pravokotnem trikotniku en kot (90º) poznamo. Potrebujemo le dva podatka.

 

Za izračun vseh zanimivih podatkov teh treh vrst trikotnikov moramo poznati Pitagorov izrek in kotne funkcije.

 

Pri vseh ostalih (poljubnih) trikotnikih potrebujemo tri neodvisne podatke. Podatki trikotnika niso le stranice in koti. Kot podatek trikotnika so lahko tudi:

  • ploščina trikotnika 
  • obseg trikotnika
  • ena od višin trikotnika 
  • ena od težiščnic trikotnika
  • polmer trikotniku očrtanega kroga
  • polmer trikotniku včrtanega kroga

 

Podatek je lahko tudi vsota ali razlika dveh stranic in vsota ali razlika dveh kotov. Od podatkov trikotnika so najbolj pogosto podani podatki stranice in koti:

a) dve stranici in en kot, ki leži eni od stranic nasproti,

b) dve stranici in kot, ki ga oklepata,

c) vse tri stranice.

 

Čeprav obstaja cela vrsta postopkov, pa lahko skoraj vse trikotniške probleme s to vrsto podatkov, rešimo s pomočjo treh enačb, ki ustrezajo trem najbolj pogostim podatkom:

a) sinusnega stavka, 

b) kosinusnega stavka ali 

c) Heronovega obrazca.

 

Sinusni stavek

Za izpeljavo sinusnega stavka moramo znati določiti središče trikotniku očrtanega kroga. Simetrale stranic poljubnega trikotnika se sekajo v središču trikotniku očrtanega kroga. 

 

Če točki trikotnika A in B mirujeta (stranica c), točka C pa se premika po obodu kroga, se pri tem velikost obodnega kota  nič ne menja. Ker je središčni kot vedno enak dvojnemu obodnemu kotu, se tudi ta pri tem nič ne spremeni. 

 

Sinusov stavk uporabimo pri razreševanju poljubnega trikotnika, kjer je to le mogoče.

 

Kosinusni stavek

Če poznamo dve stranici in kot, ki ga oklepata, moramo v prvem koraku razreševanja trikotnika uporabiti kosinusni stavek.

 

Izračun površine geometrijskih teles

Postopek za izračun površine geometrijskih teles je preprost.Površina geometrijskega telesa je enaka vsoti ploščin vseh njegovih robnih ploskev!Robne ploskve pa so lahko sestavljene iz trikotnikov in krogov (delov krogel)!

 

Krogla je gometrijsko telo, pri katerem ima vsak prerez skozi središče krogle obliko kroga. Za izračun površine krogle moramo vedeti, kaj pomeni prostorski ali sferični kot ali pa moramo vedeti, da je površina krogle enaka štirikratniku ploščine kroga skozi središče krogle. 

 

Prostorski kot merimo v steradianih. Steradian je definiran kot prostorski kot, ki mu na krogli s polmerom r = 1 pripada ploskev z enoto 1.

 

Izračun prostornine geometrijskih teles

Vsa geometrijska telesa za izračun prostornine delimo v dve skupini:

a) v geometrijska telesa, ki imajo dve enaki osnovni ploskvi (kot so kocka, prizma ali valj), in

b) v geometrijska telesa, ki imajo eno samo osnovno ploskev (kot sta piramida in stožec).

 

Prostornino odsekanega stožca ali piramide dobimo tako, da prostornino odsekanega dela od prostornine celotnega (neodsekanega) stožca odštejemo.

 

Celoten članek s praktičnimi primeri izračunov najdete v tiskani številki Elektrotehniške revije ER ali tukaj.

 

Avtorji

Prof. dr. Tine Zorič

Mag Gordana radić, prof. mat.

Doc. dr. Peter Kitak, univ. dipl. inž. el.


Povejte naprej: