Tehniška matematika (3. del)

Logaritmiranje in antilogaritmiranje

Pomen logaritma je jasno razviden iz njegove definicije:Logaritem je eksponent, s katerim potenciramo osnovo, da dobimo logaritmand!

Logaritmiranje in antilogaritmiranje so včasih uporabljali predvsem zato, da so z višje računske operacije prešli na nižjo računsko operacijo in s tem računanje poenostavili.

Čeprav z uporabo kalkulatorjev operacija množenja ni prav nič težja od operacije seštevanja in operacija potenciranja nič težja od operacije množenja, si pomen logaritma le oglejmo, saj je naravni logaritem sestavni del mnogih formul.

Čeprav bi smeli za osnovo izbrati katero koli pozitivno število (razen 0 in 1), je v tehniki izbira osnove   omejena na dve števili: 

  • osnova je število 10, pripadajoči logaritmi se imenujejo desetiški ali Briggsovi logaritmi; 
  • osnova je število e, pripadajoči logaritmi se imenujejo naravni ali Neperjevi logaritmi.

Zato v tehniških izračunih osnove pri zapisu obeh logaritmov ne pišemo, razlika med obema je razvidna iz zapisa: 

  • oznaka za desetiški logaritem:   log x
  • oznaka za naravni logaritem: ln x 

 

Pravokotni trikotnik

V reševanju tehniških problemov igrajo pravokotni trikotniki zelo pomembno vlogo. Trikotnik je pravokoten, če je kot nasproti najdaljše stranice enak 90º. Najdaljšo stranico imenujemo hipotenuza, ostali dve stranici pravokotnega trikotnika pa kateti. 

Kadar na splošno govorimo o pravokotnem trikotniku, označimo hipotenuzo s črko c in pripadajoči nasprotni kot z 90º. Obe kateti označimo z a in b; kota, ki pripadata katetama, pa z α in β. Večji kateti pripada večji kot. Ker je vsota kotov v trikotniku vedno enaka 180º, je vsota kotov, ki pripadata katetama, vedno α + β = 90º .

 

Pitagorov izrek

Pitagorov izrek se imenuje po grškem matematiku Pitagori, ker ga je prvi zapisal in dokazal, čeprav so že pred njegovim rojstvom ta izrek poznali Mezopotamci, Indijci in Kitajci. Definiran je v pravokotnem trikotniku in pravi: Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet.

Po Pitagorovem izreku lahko v pravokotnem trikotniku pri znanih dveh stranicah izračunamo tretjo (neznano) stranico.

Kako pomemben je v razumevanju matematike Pitagorov izrek, je razvidno iz trditve matematikov, da je Pitagorov izrek »oslovski most«, katerega mora biti sposoben prečkati vsak, ki želi biti v matematiki vsaj malo doma.

 

Kotne funkcije

Dva trikotnika sta podobna, če se ujemata v vseh treh kotih. Ta trditev velja za vse trikotnike, za pravokotni trikotnik pa je še posebej pomembna, saj z njo enostavno definiramo in razložimo kotne funkcije.

Če v poljubnem trikotniku vse tri stranice raztegnemo (ali skrčimo) za isti faktor, ostanejo koti v njem nespremenjeni oziroma dobimo podoben trikotnik. To velja seveda tudi za pravokotni trikotnik, kar je lepo razvidno z naslednje slike, kjer smo stranice pravokotnega trikotnika najprej raztegnili za 2 in nato še za 3. 

V dveh podobnih pravokotnih trikotnikih je razmerje enakoležnih stranic enako. Razmerje teh stranic se spremeni le, če se spremenijo koti v trikotniku, zato so razmerja stranic odvisna le od velikosti kotov trikotnika. To odvisnost predstavimo kot funkcije kotov v pravokotnem trikotniku na naslednji način:

  • Sinusna funkcija je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze  
  • Kosinusna funkcija je razmerje kotu priležne katete in hipotenuze 
  • Tangens funkcija je razmerje kotu nasprotne in priležne katete 
  • Kotangens funkcija je razmerje kotu priležne in nasprotne katete  

Torej, kotne funkcije so definirane z razmerji stranic in niso nič odvisne od njenih velikosti. Zato kotne funkcije najraje prikazujemo na enotskem krogu – krogu s polmerom r = 1.

Vrednost sinusne funkcije je dana kot projekcija polmera enotskega kroga (r = 1) na ordinatno os, vrednost kosinusne funkcije pa kot projekcija polmera enotskega kroga na abscisno os.

 

Celoten članek s praktičnimi primeri izračunov najdete v tiskani številki Elektrotehniške revije ER ali tukaj.

 

Avtorji

Prof. dr. Tine Zorič

Mag Gordana radić, prof. mat.

Doc. dr. Peter Kitak, univ. dipl. inž. el.

Povejte naprej: